MATLAB-Kalkül

MATLAB bietet verschiedene Methoden an, um Differential- und Integralprobleme zu lösen, Differentialgleichungen beliebiger Ordnung zu lösen und Grenzwerte zu berechnen. Wichtig ist, dass Sie komplizierte Funktionen einfach graphisch darstellen können und durch die Lösung der ursprünglichen Funktion und ihrer Ableitungen die Maximum, Minimum und andere Punkte auf der Kurve überprüfen können.

Dieses Kapitel wird über die Probleme der Differentialrechnung sprechen. In diesem Kapitel werden wir die Konzepte der Vorrechnung diskutieren, d.h. die Grenzwerte von Funktionen zu berechnen und die Eigenschaften der Grenzwerte zu überprüfen.

Im nächsten Kapitel über Differenzialrechnung werden wir den Ableitung eines Ausdrucks berechnen und die lokalen Maxima und Minima des Diagramms bestimmen. Wir werden auch über die Lösung von Differenzialgleichungen sprechen.

Schließlich im Kapitel "IntegrationIm Kapitel über Integralrechnung werden wir diskutieren.

Grenzwerte berechnen

MATLAB bietetwird verwendet, um Grenzwerte zu berechnen.Funktion zur Berechnung von Grenzwerten.wird verwendet, um Grenzwerte zu berechnen.limit

Funktionen geben den Ausdruck als Parameter weiter und finden die Grenzwerte des Ausdrucks, wenn der Variable Null wird. Die Funktion ³ + 5)/Zum Beispiel, lassen Sie uns den Grenzwert der Funktion f(x) = (x ⁴ + 7)), weil x

syms x
limit((x^3　+　5)/(x^4　+　7))

MATLAB führt den obigen Befehl aus und gibt das folgende Ergebnis zurück-

ans =
　　　5/7

Grenzwertfunktionen gehören zum Bereich der symbolischen Berechnung. Sie müssensymsFunktion, um MATLAB zu sagen, welche symbolischen Variablen Sie verwenden. Sie können auch den Grenzwert einer Funktion berechnen, weil der Variable ein Wert zugewiesen wird, der nicht durch Null geteilt wird. Um lim _{x-> a}（f(x)），wir verwenden den mit Parametern versehenen Befehl limit. Der erste ist das Ausdruck, der zweite istxAnnäherungswerte, hier sinda.

Zum Beispiel, lassen Sie uns den Grenzwert der Funktion f(x) = (x-3)/(x-1), weil x1.

limit((x　-　3)/(x-1,1)

MATLAB führt den obigen Befehl aus und gibt das folgende Ergebnis zurück-

ans =
　　　NaN

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel geben

limit(x^2　+　5,　3)

MATLAB führt den obigen Befehl aus und gibt das folgende Ergebnis zurück-

ans =
　　　14

Grenzwerte mit Octave berechnen

Hier ist ein Beispiel für die VerwendungsymbolicOctave-Version des obigen Beispiels, versuchen Sie, es auszuführen und die Ergebnisse zu vergleichen-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7), x, 0)

Octave führt den obigen Befehl aus und gibt das folgende Ergebnis zurück-

ans =
　　　0.7142857142857142857

Überprüfung der grundlegenden Eigenschaften der Grenzwerte

Die algebraische Grenzwert定理 bietet einige grundlegende Eigenschaften der Grenzwerte. Diese sind wie folgt-

Lassen Sie uns die beiden Funktionen betrachten-

• f(x) = (3x + 5)/(x-3)

• g(x) = x ² +1.

Lassen Sie uns die Grenzwerte der beiden Funktionen berechnen, wenn x5Grenzwerte der Funktionen und mit diesen beiden Funktionen und MATLAB die grundlegenden Eigenschaften der Grenzwerte überprüfen.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie den folgenden Code ein-

syms x
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= limit(f,　4)
l2　= limit(g,　4)
lAdd = limit(f　+　g,　4)
lSub = limit(f　-　g,　4)
lMult = limit(f*g,　4)
lDiv = limit(f/g,　4)

Wenn das Skript ausgeführt wird, wird angezeigt-

l1　=
　　　17
　　
l2　=
　　　17
　　
lAdd　=
　　　34
　
lSub　=
　　　0
　　
lMult　=
　　　289
　　
lDiv　=
　　　1

Basic Eigenschaften der Grenzwerte mit Octave überprüfen

Hier ist ein Beispiel für die VerwendungsymbolicOctave-Version des obigen Beispiels, versuchen Sie, es auszuführen und die Ergebnisse zu vergleichen-

pkg load symbolic
symbols
x = sym("x");
f = (3*x　+　5)/(x-3]);
g = x^2　+　1;
l1　= subs(f, x,　4)
l2　= subs(g, x,　4)
lAdd = subs(f+g, x,　4)
lSub = subs(f-g, x,　4)
lMult = subs(f*g, x,　4)
lDiv = subs(f/g, x,　4)

Octave führt den obigen Befehl aus und gibt das folgende Ergebnis zurück-

l1　=
　　　17.0
l2　=
　　　17.0
lAdd　=
　　　34.0
lSub　=
　　　0.0
lMult　=
　　　289.0
lDiv　=
　　　1.0

Linker und rechter Grenzwert

Wenn die Funktion eine Diskontinuität für einen bestimmten Wert des Variablenwerts hat, gibt es in diesem Fall keinen Grenzwert. Mit anderen Worten, die Grenze der Funktion f(x) bei x = a hat eine Diskontinuität, weil der Grenzwert, wenn x von links her nahe bei x ist, ungleich dem Grenzwert ist, wenn x von rechts her nahe bei x ist.

Dies führt zu den Konzepten von linken und rechten Grenzen. Der linke Grenzwert wird definiert als der Grenzwert von links beginnend bei x-> a, d.h. wenn x nahe bei a ist, die Werte von x <a. Der rechte Grenzwert wird definiert als der Grenzwert von x, beginnend von rechts-> a der Grenzwert, d.h. für die Werte von x> a, wenn x nahe bei a ist. Wenn der linke und rechte Grenzwert ungleich sind, gibt es keinen Grenzwert.

Lassen Sie uns eine Funktion betrachten-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

Wir werden lim _{x-> 3} f(x) existiert nicht. MATLAB hilft uns auf zwei Weisen, dies zu belegen-

• Durch Zeichnen der Funktion und Anzeige der Diskontinuität.

• Durch Berechnung der Grenzen und Anzeige, dass beide unterschiedlich sind.

Die linken und rechten Grenzen werden berechnet, indem die Zeichenkette "left" und "right" als letzten Parameter an das limit-Kommando übergeben werden.

Beispiel

Erstellen Sie eine Skriptdatei und geben Sie den folgenden Code ein-

f　=　(x　-　3)/abs(x-3]);
ezplot(f,[-1,5])
l　=　limit(f,x,3,'left')
r　=　limit(f,x,3,'right')

Wenn die Datei ausgeführt wird, zeichnet MATLAB die folgenden Diagramme

Nachfolgendes Ausgabe anzeigen-

l　=　limit(f,x,
　　　-1
　　
r　=　limit(f,x,
　　　1